已知不等式ax^2+bx的解集为{|a<x<b} (b>a>0),求不等式cx^2+bx+a<0的解集

来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/26 04:18:13

解:
由二次函数图像知道
ax^2+bx+c的二次项系数a大于0时开口向上,它若与x轴有交点α,β,α<β,则不等式ax^2+bx+c>0的解为 x<α或x>β;a小于0时开口向下,它若与x轴有交点α,β,α<β,则不等式ax^2+bx+c>0的解为α< x<β
所以,第一步推得a<0
以下分情况讨论

第一种情况:c=0
1)b=0
则条件中的不等式解集为空,不符
2)b<0(或>0)
此时即为求不等式bx+a<0的解集
为x>-a/b(或<-a/b)

第二种情况:c不等于0
显然α,β均不为0(因为它们是方程ax^2+bx+c=0的两根)
注意到α,β为方程ax^2+bx+c=0的两根,
将方程变形为c*(1/x)^2+b*(1/x)+a=0
作代换t=1/x,则方程即为ct^2+bt+a=0(即与结论中的不等式形式一致)
t=1/α,t=1/β为其两根
1)当α,β同号(不管正还是负),由α<β均有1/α>1/β
A. c<0时,所求解集在两根之外,即x<1/β或x>1/α
B. c>0时,所求解集在两根之内,即1/β<x<1/α
2)当α,β异号时,由α<β有由α<0,β>0,从而1/α<1/β
A. c<0时,同理知所求为x<1/α或x>1/β
B. c>0时,所求为<1/α<x<1/β
解毕

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